New PDF release: Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik correct sind.

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1, § 18, Satz 8) existiert ein δ1 > 0, so dass Z b a k f (t) dt − ∑ f (ti ) (ti − ti−1 ) i=1 ε 2 (1) f¨ur jede Unterteilung a = t0 < t1 < . . < tk = b (∗) des Intervalls [a, b] der Feinheit δ1 . Nach dem Hilfssatz gibt es ein δ > 0 mit δ δ1 und folgender Eigenschaft: Hat die Unterteilung (∗) eine Feinheit δ, so gilt f (ti ) − f (ti−1) − f (ti) ti − ti−1 ε 2(b − a) f¨ur i = 1, . . , k. Daraus folgt f (ti ) − f (ti−1) − f (ti ) (ti − ti−1 ) ti − ti−1 ε · . d. 7) Sei ϕ > 0. Wir betrachten den Kreisbogen f : [0, ϕ] −→ R2 , f (t) := (cost, sint).

Manchmal ist folgende kinematische Interpretation einer Kurve f : I → Rn n¨utzlich: Man fasst die Variable t ∈ I als Zeit und f (t) ∈ Rn als Ort auf. Die Kurve beschreibt dann die zeitliche Bewegung eines Punktes im Rn . Definition (Tangentialvektor). Sei I ⊂ R ein Intervall und f = ( f1 , . , fn ) : I −→ Rn eine differenzierbare Kurve. F¨ur t ∈ I heißt f (t) = ( f1 (t), . , fn (t)) ∈ Rn der Tangentialvektor der Kurve f zum Parameterwert t. Falls f (t) = 0, heißt der auf den Betrag 1 normierte Vektor f (t)/ f (t) Tangenten-Einheitsvektor.

Daraus folgt f (ti ) − f (ti−1) − f (ti ) (ti − ti−1 ) ti − ti−1 ε · . d. 7) Sei ϕ > 0. Wir betrachten den Kreisbogen f : [0, ϕ] −→ R2 , f (t) := (cost, sint). Es gilt f (t) = (− sint, cost), also f (t) = sin2 t + cos2 t = 1. Deshalb errechnet man f¨ur die Bogenl¨ange L= Z ϕ 0 f (t) dt = Z ϕ 0 dt = ϕ. Insbesondere ist der Umfang des Einheitskreises gleich 2π. 8) Die Zykloide ist die Kurve f : R −→ R2 , t → (t − sint, 1 − cost). 7. 7. 7 I. Differentialrechnung im Rn 44 = 1 − 2 cost + cos2 t + sin2 t = 2 − 2 cost = 4 sin2 (t/2), also f (t) = 2| sin(t/2)|.

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Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche Differentialgleichungen by Otto Forster

by Charles

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